Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx-3，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)b，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），記g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）問(wèn)b為何值時(shí)，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫(xiě)出對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸所在的區(qū)間不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值、最小值，即可求得函數(shù)g（b）的解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，利用二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，以及分段函數(shù)求最值的方法即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=(x+

b

2

)2-3-

b2

4

，拋物線開(kāi)口向上，其對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-

b

2

，下面就對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[b-2，b+2]端點(diǎn)的相對(duì)位置分段討論：
①當(dāng)0≤b≤

4

3

時(shí)，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≥-

b

2

-(b-2)，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2+6b+4．
②當(dāng)-

4

3

≤b＜0時(shí)，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≤-

b

2

-(b-2)，
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2-6b+4．
③當(dāng)b＞

4

3

時(shí)，-

b

2

＜b-2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞增，
此時(shí)M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1．g（b）=12b．
④當(dāng)b＜-

4

3

時(shí)，-

b

2

＞b+2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞減，
此時(shí)M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1．g（b）=-12b．
綜上所得g(b)=

-12b，b＜- 4 3 9 4 b2-6b+4，- 4 3 ≤b＜0 9 4 b2+6b+4，0≤b≤ 4 3 12b，b＞ 4 3

（2）當(dāng)b＜-

4

3

時(shí)，g(b)=-12b＞g(-

4

3

)=16；
當(dāng)-

4

3

≤b＜0時(shí)，g(b)=

9

4

b2-6b+4遞減，g（b）＞g（0）=4；
當(dāng)0≤b≤

4

3

時(shí)，g(b)=

9

4

b2+6b+4遞增，g（b）≥g（0）=4；
當(dāng)b＞

4

3

時(shí)，g(b)=12b＞g(

4

3

)=16．
綜上所述，當(dāng)b=0時(shí)，[g（b）]_min=4．

點(diǎn)評(píng)：本題看出二次函數(shù)的性質(zhì)，針對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是一個(gè)變化的值，需要對(duì)對(duì)稱(chēng)軸所在的區(qū)間進(jìn)行討論，本題是一個(gè)綜合題目，是一個(gè)易錯(cuò)題．屬中檔題．