Question

設函數f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：函數f（x）=x²-ax+a+3的圖象恒過定點（1，4），g（x）=ax-2a的圖象恒過定點（2，0），利用這兩個定點，結合圖象解決．

解答：解：由f（x）=x²-ax+a+3知f（0）=a+3，f（1）=4，
又存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，
知△=a²-4（a+3）＞0即a＜-2或a＞6，
另g（x）=ax-2a中恒過（2，0），
故由函數的圖象知：
①若a=0時，f（x）=x²-ax+a+3=x²+3恒大于0，顯然不成立．
②若a＞0時，g（x₀）＜0?x₀＜2

a＞0 f(2)＜0

?a＞7
③若a＜0時，g（x₀）＜0?x₀＞2
此時函數f（x）=x²-ax+a+3圖象的對稱軸x=

a

2

＜-1，
故函數在區間（

a

2

，+∞）上為增函數
又∵f（1）=4，
∴f（x₀）＜0不成立．
故答案為：（7，+∞）．

點評：充分挖掘題目中的隱含條件，結合圖象法，可使問題的解決來得快捷．本題告訴我們，圖解法對于解決存在性問題大有幫助．