Question

設函數f（x）=x²+|x-2|-1，x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：本題第一問考查分段函數的奇偶性，用定義判斷；第二問是求最值的題目：求最值時，先判斷函數在相應定義域上的單調性，在根據單調性求出函數的最值．

解答：解：（1）f（x）=

x2+x-3 x≥2 x2-x+1，x＜2.

若f（x）奇函數，則f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．
∵f（0）=1≠0，
∴f（x）不是R上的奇函數．
又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），
∴f（x）不是偶函數．
故f（x）是非奇非偶的函數．
（2）當x≥2時，f（x）=x²+x-3，為二次函數，對稱軸為直線x=-

1

2

，
則f（x）為[2，+∞）上的增函數，此時f（x）_min=f（2）=3．
當x＜2時，f（x）=x²-x+1，為二次函數，對稱軸為直線x=

1

2

則f（x）在（-∞，

1

2

）上為減函數，在[

1

2

，2）上為增函數，
此時f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

．
綜上，f（x）_min=

3

4

．

點評：函數的奇偶性是高考常考的題目，而出的題目一般比較簡單，常用定義法判斷；函數的最值也是函數問題中常考的題目，一般先判斷函數的單調性，在求最值，而學生往往忽略了判斷單調性這一步．