Question

設函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，求實數(shù)m的值；
（2）當m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，即可求實數(shù)m的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-2lnx，確定函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增，求導函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-mlnx，
∴切點為（1，1），f′(x)=2x-

m

x

，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，
∴k=f'（1）=1，即m=1
（2）f（x）-h（x）=0，等價于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，則g′(x)=1-

2

x

=

x-2

2

∴x∈[1，2]時，g′（x）≤0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞減；x∈[2，3]時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[2，3]內(nèi)單調(diào)遞增．
又因為g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（3）∵h（x）=x²-x+a在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
∴f（x）=x²-mlnx也應在(0，

1

2

)單調(diào)遞減；(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
∵f′(x)=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，
∴當m≤0時，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）單調(diào)遞增，不滿足條件；當m＞0且

m 2

=

1

2

，即m=

1

2

，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．