Question

設函數f（x）=x²+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

分析：（1）當a=-6時，由f′（x）=0得x=2，可判斷出當x∈（0，1）時，f（x）單調遞減；當x∈（1，3]時，f（x）單調遞增，從而得到f（x）在[0，3]上的最值．
（2）要使f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點，即使f′（x）=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，即2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，可以利用一元二次函數根的分布，即可求a的范圍．
（3）先構造函數h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調性，求出函數h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x=

1

n

，即可證得結論．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞），
a=-6時，由f'（x）=2x+1-

6

x+1

=

(x-1)(2x+5)

x+1

=0，得x=1（x=-

5

2

舍去），
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，3]時，f′（x）＞0，
所以當x∈（0，2）時，f（x）單調遞減；當x∈（1，3]時，f（x）單調遞增，
所以f（x）_min=f（1）=2-6ln2，f（x）_max=f（3）=12-12ln2，
（2）由題意f'（x）=2x+1+

a

x+1

=

2x2+3x+1+a

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設g（x）=2x²+3x+1+a，則

△=9-8(1+a)＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜a＜

1

8

；
（3）對于函數f（x）=x²-ln（x+1），令函數h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則h/（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴當x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0
所以函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），則有ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
即不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立

點評：本題以函數為載體，考查函數的最值，考查函數的單調性．第一問判斷f（x）在定義域的單調性即可求出最小值．第二問將f（x）在定義域內既有極大值又有極小值問題轉化為f（x）在定義域內與X軸有三個不同的交點是解題的關鍵，第三問的關鍵是構造新函數，利用導數證明不等式．