Question

【題目】已知點為拋物線：的焦點，拋物線上的點滿足(為坐標原點)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線：與拋物線交于不同的兩點，是否存在實數及定點，對任意實數，都有？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）存在及點，對任意實數m，都有.

【解析】

（1）由得點A橫坐標為，由拋物線定義及得，，從而得解；

（2）設，由得，再由直線與拋物線聯立及韋達定理代入即可得解.

(1) 由得點A橫坐標為，

由拋物線定義及得，，所以，

所以拋物線C的方程為y2＝4x.

(2)假設存在實數t及定點P，對任意實數m，都有，

設，

聯立得y2,

則y1＋y2＝,y1y2＝,=,

由得

=

=，

所以，

當時不滿足題意，所以，

即存在及點，對任意實數m，都有.