Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，BC=2

2

，O為BD的中點．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）求出S_△PBC=

1

2

×2×2

2

=2

2

，S_△PAB=

3

4

×4=

3

，即可求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：設F為DC的中點，連接BF，則DF=AB．
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四邊形ABFD為正方形．
∵O為BD的中點，
∴O為AF，BD的交點，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…
∵BD=2

2

，
∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，
∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由余弦定理可得OC=

2+16-2• 2 •4•cos45°

=

10

，
∴PC=

PO2+OC2

=2

3

，
在△PBC中，PB=2，BC=2

2

，PC=2

3

，
∴PB⊥BC，
∴S_△PBC=

1

2

×2×2

2

=2

2

，
∵S_△PAB=

3

4

×4=

3

，
∴二面角A-PB-C的余弦值

3

2 2

=

6

4

．

點評：本題考查證明線面垂直的方法，求平面和平面所成的角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．