Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PC上，且PF=λPC．

（1）求直線CE與直線PD所成角的余弦值；
（2）當(dāng)直線BF與平面CDE所成的角最大時(shí)，求此時(shí)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0， ，1），

=（﹣1，﹣ ，1）， =（1，0，﹣2），

∴cos＜ ， ＞= = =﹣ ，

∴CE與PD所成角的余弦值為

（2）解：點(diǎn)F在棱PC上，且PF=λPC，∴ ，

∴F（λ，λ，﹣2λ）， =（λ，λ﹣1，2﹣2λ），

又 =（0，﹣1，0）， =（﹣1，﹣ ，1）．

設(shè) 為平面CDE的法向量，

則 ，取x=1，得 =（1，0，1）

設(shè)直線BF與平面CDE所成的角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

令t=2﹣λ，則t∈[1，2]，∴sinθ= = ，

當(dāng) ，即t= ∈[1，2]時(shí)， 有最小值 ，此時(shí)sinθ取得最大值為 ，

即BF與平面CDE所成的角最大，此時(shí) = ，即λ的值為

【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CE與PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．