Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數y=f(x)在∈(m，+∞)上的單調性；

(2)若，則當x∈[m，m+1]時，函數y= f(x)的圖象是否總在函數圖象上方?請寫出判斷過程.

Answer 1

【答案】(1) 在(m,m+1)上單調遞減，在(m+1,+∞)上單調遞增； (2)見解析.

【解析】

（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）由(1)知在上單調遞減，所以其最小值為.因為在上的最大值為.所以只需判斷與的大小，其中.

(1) ，

當x∈(m,m+1)時，，當x∈(m+1，+∞)時，，

所以f(x)在(m,m+1)上單調遞減，在(m+1,+∞)上單調遞增.

(2)由(1)知f(x)在[m,m+1]上單調遞減，

所以其最小值為.

因為在上的最大值為.

所以下面判斷f(m+1)與的大小，即判斷與(1+x)x的大小，其中.

令，則，

令，則，

因為，所以，單調遞增，

所以，

故存在，使得.

所以k(x)在上單調遞減，在上單調遞增.

所以.

所以當時，，

即，也即，

所以函數y=f(x)的圖象總在函數圖象上方.