Question

【題目】已知等腰直角三角形，其中， ．點、分別是、

的中點，現將△沿著邊折起到△位置， 使⊥，連結、．

（Ⅰ）求證：BC⊥PB

（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知條件AD∥BC，PA⊥AD，從而得到BC⊥PA，再由BC⊥AB，即可得到BC⊥平面PAB，從而得出BC⊥PB；（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB即可得到PA⊥平面ABCD，從而連接AC，∠PCA便是PC與平面ABCD所成角，從而求出AC，PC的長，在直角三角形PAC中即可求出cos∠PCA

試題解析：：（Ⅰ）證明：∵A、D分別是RB、RC的中點；

∴AD∥BC，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°；

∴PA⊥AD，PA⊥BC；

又BC⊥AB，PA∩AB=A；

∴BC⊥平面PAB；

∵PB平面PAB；

∴BC⊥PB；

（Ⅱ）由PA⊥AD，PA⊥AB，AD∩AB=A；

∴PA⊥平面ABCD；

連接AC，則∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角；

∵AB=1，BC=2，∴AC=；

又PA=1，PA⊥AC，∴PC=；

∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝；

∴PC與平面ABCD所成角的余弦值為