Question

【題目】已知定義在R上的函數是奇函數，函數的定義域為．

（1）求的值；

（2）若在上遞減，根據單調性的定義求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若函數在區間上有且僅有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為函數是R上的奇函數，所以，求得；（2）根據定義法，設 時，需滿足，這樣可求得實數的取值范圍；（3）將函數零點轉化為的實根，是方程的一個實根，所以需討論的實根情況，得到的取值范圍.

試題解析：（1） 函數是奇函數

∴ ．

∴ 得．………………3分

（2）∵在上遞減

∴ 任給實數 ，當 時

∴

∴ ………………………………………………6分

（3）由（1）得，令，即．

化簡得． 或 ．

若是方程的根，則，

此時方程的另一根為1，與在區間上有且僅有兩個不同的零點不符．

函數在區間上有且僅有兩個不同的零點等價于方程

（※）在區間上有且僅有一個非零的實根．

①當時，得．

若，則方程（※）的根為，符合題意;

若，則與（2）條件下矛盾，不符合題意．

．

② 當時，令

由 得．

綜上所述，所求實數的取值范圍是． ………………12分