Question

【題目】已知以點C（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O和點A，與y軸交于點O和點B，其中O為原點．

（1）求證：△OAB的面積為定值；

（2）設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）圓C的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5

【解析】

（1）先求出圓C的方程（x－t）2＋＝t2＋，再求出|OA|,|0B|的長，即得△OAB的面積為定值；（2）根據t得到t＝2或t＝－2，再對t分類討論得到圓C的方程．

（1）證明：因為圓C過原點O，所以OC2＝t2＋.

設圓C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；

令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，

所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，

即△OAB的面積為定值．

（2）因為OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分線段MN.

因為kMN＝－2，所以kOC＝.

所以t，解得t＝2或t＝－2.

當t＝2時，圓心C的坐標為（2，1），OC＝，

此時，圓心C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<，圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點．

符合題意，此時，圓的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5.

當t＝－2時，圓心C的坐標為（－2，－1），OC＝，此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝.圓C與直線y＝－2x＋4不相交，

所以t＝－2不符合題意，舍去．

所以圓C的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝5.