Question

【題目】如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分別為線段AD，PC的中點.

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：BE⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】 (1) 證明見解析

(2) 證明見解析

【解析】

（1）連接CE，OF，易知四邊形ABCE是菱形，可得O是AC的中點，利用中位線的概念，可得PA∥OF，從而可證AP∥平面BEF；

（2）通過證明AP⊥BE、BE⊥AC，可證明BE⊥平面PAC

證明：　(1)如圖所示，設AC∩BE＝O，連接OF，EC.

由于E為AD的中點，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四邊形ABCE為菱形，

所以O為AC的中點.又F為PC的中點，

所以在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)由題意，知ED∥BC，ED＝BC，

所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.

因為四邊形ABCE為菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC