Question

【題目】已知函數，

（1）若的圖像過點，且在點P處的切線方程為，試求函數的單調區間；

（2）當時，若函數恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為。（2）1

【解析】

（1）由圖象過點，得，根據導數的幾何意義得，列出關于的方程，解出，通過導數與0的關系可得單調區間；（2）原題等價于在區間內恒成立，設，對其二次求導可得有極大值，也為最大值，根據，即可得結果.

（1）.函數過點可知，，，

∴，，，聯立可得，

所以，函數的定義域為，

可知，，，，可知函數的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為

（2）由可知

因為，所以原命題等價于在區間內恒成立．

設

可設，在單調遞增，且，

所以存在唯一的，使得

且當時， ， 單調遞增，

當時， ， 單調遞減，

所以當時， 有極大值，也為最大值，且

又，所以∴,可知，所以的最小值為1.