Question

三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形，高AA′=1，在AB上取一點P，設△PA′C′與底面所成的二面角為α，△PB′C′與底面所成的二面角為β，則tan（α+β）的最小值是（　　）

• A、-

  3

  4

  3

• B、-

  6

  15

  3

• C、-

  8

  13

  3

• D、-

  5

  8

  3

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,兩角和與差的正切函數

專題：空間角

分析：記P在A′B′=1上的投影為P′，A′P′=t，則B′P′=1-t，由圖形得tanα=

1

3 2 t

=

2

3 t

，tanβ=

2

3 (1-t)

，由此能求出tan（α+β）的最小值．

解答： 解：記P在A′B′=1上的投影為P′，A′P′=t，
則B′P′=1-t，由圖形得tanα=

1

3 2 t

=

2

3 t

，
tanβ=

2

3 (1-t)

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2 3 t + 2 3 (1-)t

1- 2 3 t • 2 3 (1-t)

=

2

3

•

1

t-t2- 4 3

≥-

8 3

13

．
∴tan（α+β）的最小值是-

8 3

13

．
故選：C．

點評：本題考查兩角和的正切值的最小值的求法，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．