Question

統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：y=

1

128000

x³-

3

80

x+8（0＜x≤120），已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）求汽車從甲地到乙地勻速行駛的耗油量S（升）與行駛速度x（千米/小時）的函數關系式；
（Ⅱ）當汽車以多大速度勻速行駛時，從甲地到乙地的耗油量S最少？最少為多少升？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了

100

x

小時，即可求出耗油量為h（x）與速度為x的關系式；
（Ⅱ）利用導函數求出S的極小值判斷出就是最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了

100

x

小時，則
依題意得S=（

1

128000

x³-

3

80

x+8）•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

（0＜x≤120）；
（Ⅱ）S′=

x3-803

640x2

（0＜x≤120）．
令S′=0，得x=80．
當x∈（0，80）時，S′＜0，S是減函數；
當x∈（80，120）時，S′＞0，S是增函數．
∴當x=80時，S取到極小值11.25．
∵S在（0，120]上只有一個極值，
∴它是最小值．
故當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

點評：本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力．