Question

已知橢圓的焦點(diǎn)F₁（0，-1）和F₂（0，1），離心率e=

1

2

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得c=1，然后根據(jù)離心率e=

1

2

，求出a，b．求出橢圓方程即可；
（2）由P在橢圓上，可得|PF₁|+|PF₂|=4，與已知條件聯(lián)立可求得是直|PF₁|與|PF₂|，據(jù)此能夠推導(dǎo)出△PF₂F₁是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的面積公式求解即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，可得c=1，
又e=

1

2

=

c

a

，則a=2c=2，b=2

3

，
所以橢圓的方程為：

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）（2）∵點(diǎn)P在橢圓上，
∴

|PF2|-|PF1|=1 |PF2|+|PF1|=4

，
∴

|PF2|= 5 2 |FP1|= 3 2

；
∵2²+（

3

2

）²=(

5

2

)2，
∴△PF₂F₁是直角三角形，
∴△PF₁F₂的面積=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查了余弦定理、直角三角形的判定、直角三角形的面積等知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是求出|PF₁|與|PF₂|的值，推導(dǎo)出△PF₂F₁是直角三角形．