Question

已知函數g（x）=a^x，h（x）=x²-xlna-b（a＞0且a≠1，b∈R），設f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若函數y=g（x）-h（x）在x=0處的切線的傾斜角為銳角，且對函數f（x），?x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（a^x-1）lna+2x，分別討論0＜a＜1時，a＞1時的情況，從而求出函數的單調性；
（Ⅱ）先求出f′（x）=（a^x-1）lna+2x，分別討論0＜a＜1時，a＞1時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=g（x）+h（x）=a^x+x²-xlna-b，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
當0＜a＜1時，lna＜0，0＜a^x＜1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
即此時y=f（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
當a＞1時，lna＞0，a^x＞1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
即y=f（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
綜上f（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
（Ⅱ）∵f′（x）=（a^x-1）lna+2x，
0＜a＜1時，lna＜0，0＜a^x＜1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞1時，lna＞0，a^x＞1，
∴f′（x）=（a^x-1）lna+2x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）_max=f（1），
∴f（1）-f（0）≥e-1，
∴a-lna≥e-lne，
令H（a）=a-lna（a＞1），
∴H（a）在（1，+∞）遞增，
∴a≥e．

點評：本題考查了函數的單調性，考查導數的應用，分類討論思想，是一道綜合題．