Question

已知函數f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥lnx對于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+

a

x

=

x+a

x

，利用導數與單調性的關系求單調區間，注意對a分類討論
（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），轉化為g（x）_min≥0恒成立問題．

解答： 解：（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+

a

x

=

x+a

x

，
當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜0時，若x＞-a，
則f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上單調遞增，
若0＜x＜-a，則f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上單調遞減．
綜上所述，當a≥0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（-a，+∞），單調遞減區間為（0，-a）．
（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），
則g′（x）=

x+a-1

x

．
由g′（x）=0得x=1-a，
當a≥0時，即1-a≤1時，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=0，因此，當a≥0時，g（x）≥0，f（x）≥lnx對于任意x∈[1，+∞）恒成立．
當a＜0時，即1-a＞1時，若1＜x＜1-a，
則g′（x）＜0，g（x）在（1，1-a）上單調遞減，
所以g（x）＜g（1）=0，不滿足
g（x）≥0，x∈[1，+∞），
即不滿足f（x）≥lnx對于任意x∈[1，+∞）恒成立．
綜上所述，a的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查導數在研究函數問題中的應用、由不等式恒成立求解參數范圍，考查等價轉化思想，這種常規的數學思想方法需要理解掌握并運用．