Question

【題目】設拋物線的焦點為，過點的動直線交拋物線于不同兩點，線段中點為，射線與拋物線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）設直線方程為，代入，消去，運用韋達定理和中點坐標公式，再運用代入法消去，即可得到的軌跡方程；（2）設，根據（1）可得，由點在拋物線上，化簡可得，由點到直線的距離公式，以及弦長公式，求出的面積，再構造新函數，利用導數即可求得的面積的最小值.

詳解：（1）設直線方程為，代入得

設，則， ， .

∴.

設，由消去得中點的軌跡方程為

（2）設.

∵，

∴

由點在拋物線上，得.

又∵

∴，點到直線的距離

又 .

所以， 面積

設，有，故在上是減函數，在上是增函數，因此，當時取到最小值.

所以， 面積的最小值是.