Question

【題目】已知函數/(x.

（1）當時，求在最小值；

（2）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性，利用其單調性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在單調遞減區間，需h′（x）＜0有正數解．從而轉化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當x＞1時，，即.，再構造函數，令，有，從而，問題可解決；（法二）可用數學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，成立；設時，命題成立，即，，再去證明n=k+1時，即可（需用好歸納假設）．

詳解：

（1），定義域為.

∵

∴在上是增函數.

.

（2）因為

因為若存在單調遞減區間，所以有正數解.

即有有解.

①當時，明顯成立.

②當時，開口向下的拋物線，總有有解；

③當時，開口向上的拋物線，即方程有正跟.

當時，；

，解得.

綜合①②③知：.

綜上所述：的取值范圍為.

（3）（法一）根據（1）的結論，當時，，即.

令，則有，

∴.

∵，

∴.

（法二）當時，.

∵，∴，即時命題成立.

設當時，命題成立，即.

∴時，

根據（1）的結論，當時，，即.

令，則有，

則有，

即時命題也成立.

因此，由數學歸納法可知不等式成立.