Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，分別在其左、右焦點，在橢圓上任意一點，且的最大值為1，最小值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓的右頂點，直線是與橢圓交于兩點的任意一條直線，若，證明直線過定點．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用向量的數量積公式建立方程組求解；(2)依據題設運用直線與橢圓的位置關系探求．

試題解析：

（1）設橢圓方程為，為橢圓上任意一點，

所以，，所以

，…………………………………………2分

又因為，所以

．……………………4分

因為，所以，因此，所以，

因此，

所以橢圓方程為…………………………6分

（2）①若直線不垂直于軸，設該直線方程為，，

由，得，

化簡得，

所以，，…………………………7分

．………8分

因為，所以，

所以，

所以，

去分母得

即．…………………………10分

，所以或，

當時，過定點，顯然不滿足題意；

當時，過定點．

②若直線垂直于軸，設與軸交于點，由橢圓的對稱性可知為等腰直角三角形，所以，化簡得，

解得或2（舍），即此時直線也過定點．

綜上直線過定點．…………………………13分