【題目】設函數
．
（1）求
的最小值；
（2）記的最小值為
，已知函數
，若對于任意的
，恒有
成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
試題分析：（1）求出函數
的定義域，并利用導數研究其在定義域上的單調性，找到最小值點即可求得最小值；（2）
，把分子設為新函數
，并用導數研究其單調性，可知
在
上單調遞增，由于
，且當
時，
，所以存在
，使
，且
在
上單調遞減，在
上單調遞增，所以必有
，據此求得
，分類參數即可求得參數
的范圍.
試題解析：（1）由已知得
．．．．．．．．．．1分
令
，得
；令
，得
，
所以
的單調減區間為
，單調增區間為
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
從而
．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）中
得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
令，則
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以在上單調遞增，
因為，且當時，，
所以存在，使，且在上單調遞減，在上單調遞增．．．．．．8分
因為
，所以
，即
，因為對于任意的
，恒有
成立，
所以．．．．．．．．．．．．9分
所以
，即
，亦即
，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
因為
，所以
，
又
，所以
，從而
，
所以
，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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陽光考場單元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N。
(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；
(2)證明：直線MN∥平面BDH；
(3)過點M，N，H的平面將正方體分割為兩部分，求這兩部分的體積比．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，長軸在
軸上，
分別在其左、右焦點，
在橢圓上任意一點，且
的最大值為1，最小值為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
為橢圓
的右頂點，直線
是與橢圓交于
兩點的任意一條直線，若
，證明直線
過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與
軸的正半軸重合，圓
的極坐標方程是
，直線
的參數方程是
（
為參數）.
（1）若
， 
為直線
與
軸的交點， 
是圓
上一動點，求
的最大值；
（2）若直線
被圓
截得的弦長為
，求
的值.
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