Question

【題目】已知函數．

（1）解不等式；

（2）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；

（3）若函數，其中為奇函數，為偶函數，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

（1）利用換元法，將原不等式轉化為一元二次不等式來求解.（2）將問題分離常數，轉化為在有解的問題來解決.求得在上的值域，來求得的取值范圍.（3）先根據函數的奇偶性的概念，求得的解析式，化簡所求不等式為，利用換元法及分離參數法分離出，利用恒成立問題解決方法求得的取值范圍.

（1）原不等式即為，設t=2x，則不等式化為t﹣t2＞16﹣9t，

即t2﹣10t+16＜0，解得，即，∴1＜x＜3，∴原不等式的解集為．

（2）函數在上有零點，∴在上有解，即在有解．

設，∵，∴，

∴．∵在有解，∴，故實數的取值范圍為．

（3）由題意得，解得．

由題意得，

即

對任意恒成立，令，，則．

則得對任意的恒成立，

∴對任意的恒成立，

∵在上單調遞減，∴．

∴，∴實數的取值范圍．