Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求證：當a≥4時，函數f（x）存在最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=ex（x+2）（x+a），

由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，

①﹣a=﹣2即a=2時，f′（x）=ex（x+2）2≥0恒成立，

∴函數f（x）在R遞增；

②﹣a＞﹣2即a＜2時，x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

③﹣a＜﹣2即a＞2時，x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，﹣2）	﹣2	（﹣2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

綜上，a=2時，函數f（x）在R遞增，a＜2時，f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣a，+∞）遞增，在（﹣2，﹣a）遞減，

a＞2時，f（x）在（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞）遞增，在（﹣a，﹣2）遞減；

（2）解：法一：由（1）得：a≥4時，函數f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），

且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，

∵a≥4，

∴x∈（﹣∞，﹣a）時，x（x+a）≥0，ex＞0，

x∈（﹣∞，﹣a）時，f（x）=ex[x（x+a）+a]＞0，

∴a≥4時，函數f（x）存在最小值f（﹣2）；

法二：由（Ⅰ）得：a≥4時，函數f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），

且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，

x→﹣∞時，x2+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，

由（Ⅰ）可知，函數f（x）在（﹣∞，﹣a）遞增，

∴x∈（﹣∞，﹣a）時，f（x）＞0，

∴a≥4時，函數f（x）的最小值是f（﹣2）

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）結合（1）得到函數f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）時，f（x）=ex[x（x+a）+a]＞0，從而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根據函數的單調性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．