Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求的方程；

（2）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，使得，再過作直線，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）由題意得，根據離心率為可得，故可得到C的方程。（2）由為線段的中點。設，當時，由“點差法”可得直線的斜率為，從而直線的方程可求得為

，過定點；當時， 過點。故可得直線過點。

試題解析：

（1）由題意知，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，

所以橢圓的方程為.

（2）因為直線的方程為，設 ，

①當時，設，顯然，

由可得，即,

又，所以為線段的中點，

故直線的斜率為，

又，

所以直線的方程為

即，顯然恒過定點，

②當時， 過點，

綜上可得直線過定點.