Question

【題目】已知點(diǎn)，分別在軸，軸上運(yùn)動，，點(diǎn)在線段上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線與交于，兩點(diǎn)，，若直線，的斜率之和為2，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，由此得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡后求得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程和軌跡的方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，根據(jù)直線，的斜率之和為2列方程，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時，同樣利用直線，的斜率之和為2列方程，由此求得直線的方程，此時直線也過點(diǎn)，由此判斷出直線恒過定點(diǎn).

（1）設(shè)，

因為點(diǎn)在線段上，且，所以，，

因為，所以，即，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)，，

當(dāng)的斜率存在時，設(shè)：，

由得，

所以，即，

，，

因為直線，的斜率之和為2，所以，

所以，即，所以，

當(dāng)時，滿足，即，符合題意，

此時：恒過定點(diǎn)，

當(dāng)的斜率不存在時，，，

因為直線，的斜率之和為2，所以，

所以，此時：，恒過定點(diǎn)，

綜上，直線恒過定點(diǎn).