Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若，直線與曲線和曲線都相切，切點分別為，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先寫出函數定義域為，求得，對的范圍進行討論，從而確定出的符號，確定出函數的單調性；

（2）可以從兩個角度去分析，方法一是根據導數的幾何意義，寫出直線的方程為，即，也可以寫成，根據兩條直線是同一條直線，得到，且，對式子進行整理可以得到，構造函數，利用導數研究該函數的單調性及最值，從而可以證得結果；方法二是根據兩條切線的斜率想的得到，進一步可以得到，構造函數，利用導數研究該函數的單調性及最值得到結果.

（1）定義域為，

因為，

若，則，所以在單調遞增，

若，則當時，，當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增．

（2）證法一：

證明：對于曲線，，

直線的方程為，

即，即①．

對于曲線，因為，所以

所以，

直線的方程為，

即，即②．

因為①與②表示同一條直線，所以③，

且④，

④÷③，得，

所以．

令，

，

由（1）知，在單調遞增又

∴

有唯一零點，

且當時，，，

當時，，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，

又，即，

所以，

所以，所以，

又，所以．

證法二：

證明：因為，所以直線的斜率為，

因為，所以，所以，

所以直線的斜率為，

所以，所以，

又因為，

所以，

所以，

令，

所以，所以在單調遞增，

又因為，，

所以存在，使得，

且當時，，當時，，

所以在遞減，在遞增，

因為，所以在遞減，

所以當時，，

所以在內無零點，

因為是的零點且，所以．