Question

【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，分別為邊的中點(diǎn)，將AED沿折起，使得 ， ，得到如圖2的四棱錐A-BCDE，連結(jié)，且與交于點(diǎn)．

（1）求證：平面;

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）由題意可得，，即可得， ，利用線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面、平面的一個(gè)法向量為、，利用即可得解.

（1）證明：由題意，，

因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，

所以且相似比為2，所以，，

所以，，

所以，，

又因?yàn)?/span>，，所以，，

由可得平面，得證.

（2）如圖，過(guò)D作平面，DB為x軸，DC為y軸，Dz為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系；

所以，，，

由（1）知，則，

由可知，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

所以，即，取得，

同理可得平面的一個(gè)法向量，

所以，

由圖可知，所求二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．