Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點O為對角線BD的中點，點E，F分別為棱PC，PD的中點，已知PA⊥AB，PA⊥AD．

（1）求證：直線PB∥平面OEF；

（2）求證：平面OEF⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）根據O為PB中點，F為PD中點，所以，PB∥FO，之后應用線面垂直的判定定理證得結果；

（2）根據題意，得到PA∥OE，結合題中所給的條件因為PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，從而得到OE⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理證得結果.

（1）O為PB中點，F為PD中點，所以，PB∥FO

而PB平面OEF，FO平面OEF，

∴　PB∥平面OEF．

（2）連結AC，因為ABCD為平行四邊形，

∴AC與BD交于點O，O為AC中點，又E為PC中點，

∴　PA∥OE，

因為PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴　PA⊥平面ABCD，

∴　OE⊥平面ABCD

又OE平面OEF，

∴　平面OEF⊥平面ABCD