Question

【題目】設，已知函數，.

（Ⅰ）設，求在上的最大值.

（Ⅱ）設，若的極大值恒小于0，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，得出的單調性，因為在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以函數在閉區間上的最大值就是區間端點的函數值中最大的一個，利用作差法比較它們的大小，即可得到函數在上的最大值.

（Ⅱ）利用導數求出函數的極大值，構造函數，，利用導數得出，從而得到，，通過換元并構造函數，利用導數得出函數的最大值，即可證明.

（Ⅰ）由題知，

當時，；當時，

從而的單調遞增區間是，遞減區間是

從而，,

于是；

當時，，所以;

當時，，所以；

綜上所得

（Ⅱ）依題知，則，因為存在極大值，則關于x的方程，有兩個不等的正根，不妨，則，得，且,

設列表如下：

	+	0	—	0	+
	+	0	—	0	+
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

從而極大值，又，

從而，對恒成立,

設，，則

因為，所以

所以在上遞增，從而

所以，,

設，則，又.

若，；若，；

從而，即.