Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 底面， ， ， ， 分別是， 的中點， 在上，且．

（1）求證： 平面；

（2）在線段上上是否存在點，使二面角

的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析; （2）見解析.

【解析】試題分析：第（1）問證明平面，基本思路是證明平面內的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設條件給出的數量關系和圖形關系；第（2）問應抓住兩點找到問題的求解方向：一是點的預設位置，二是二面角的位置．涉及空間二面角的問題，可以從兩個不同的方法上得到求解，即常規法和向量法

試題解析：

（1）由， ，

是的中點，得．

因為底面，所以．

在中， ，所以．

因此，又因為，

所以，

則，即． 因為底面，所以，又，

所以底面，則．

又，所以平面．

（2）方法一：假設滿足條件的點存在，并設．

過點作交于點，

又由， ，得平

面．

作交于點，連結，則．

于是為二面角的平面角，

即，由此可得．

由，得，于是有， ．

在中， ，即，解得．

于是滿足條件的點存在，且．

（2）方法二：假設滿足條件的點存在，并設．以為坐標原點，分別以， ， 為， ， 軸建立空間直線坐標系 ，則， ， ，

．由得．

所以， ， ．

設平面的法向量為，則

，即，取，得， ，即．設平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．由二面角的大小為，得，化簡得，又，求得． 于是滿足條件的點存在，且．

點晴：本題考查的是線面垂直的證明和二面角的求解.第（1）問證明平面，基本思路是證明平面內的兩條相交直線垂直，注意合理利用題設條件給出的數量關系和圖形關系；第（2）問應抓住兩點找到問題的求解方向：一是點的預設位置，二是二面角的位置．涉及空間二面角的問題，可以從兩個不同的方法上得到求解，即常規法和向量法