Question

【題目】（1）證明：當時， ；

（2）若不等式對任意的正實數恒成立，求正實數的取值范圍；

（3）求證： .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合函數的定義域可導函數的性質即可證得不等式的結論；

(2)原問題轉化為 ，構造函數 ，結合新函數的性質可得正實數的取值范圍是；

(3)將不等式進行恒等變形，結合(2)的結論證得不等式成立即可.

試題解析：

（1）令函數，定義域是，

由 ，可知函數在上單調遞減，

故當時， ，即.

（2）因為， ，故不等式可化為（*），

問題轉化為（*）式對任意的正實數恒成立，構造函數 ，

則 ，

①當時， ， 即在上單調遞增，

所以，即不等式對任意的正實數恒成立.

②當時， ，因此， ，函數單調遞減；

， ，函數單調遞增，

所以 ， ， ，令，

由（1）可知 ，不合題意.

綜上可得，正實數的取值范圍是.

（3）要證，即證 ，

由（2）的結論令，有對恒成立，取可得不等式成立，綜上，不等式成立.