Question

設數列的前n項和為，，且成等比數列，當時，．
（1）求證：當時，成等差數列；
（2）求的前n項和．

Answer 1

(1)證明過程詳見解析;(2)

試題分析：
(1)利用和之間的關系(),可以得到關于的關系式,再利用十字相乘法可以求的,再根據題意當時，,則有式子成立,即成等差數列.
(2)利用第(1)問的結果可以得到的通項公式,即前11項成等比數列,從11項開始成等差數列,即為一個分段,則其前n項和也要分段討論,即分為與進行求解.利用等差與等比數列前n項和公式即可得到相應的.
試題解析：
（1） 由，，
得，              4分
當時，，所以，
所以當時，成等差數列．                     7分
（Ⅱ）由，得或
又成等比數列，所以（），，
而，所以，從而．
所以，                      11分
所以．                  14分