Question

若a_n＝n²＋λn＋3(其中λ為實常數)，n∈N^*，且數列{a_n}為單調遞增數列，則實數λ的取值范圍為________．

Answer 1

(－3，＋∞)

解法1：(函數觀點)因為{a_n}為單調遞增數列，所以a_n＋1＞a_n，即(n＋1)²＋λ(n＋1)＋3＞n²＋λn＋3，化簡為λ＞－2n－1對一切n∈N^*都成立，所以λ＞－3.
故實數λ的取值范圍為(－3，＋∞)．
解法2：(數形結合法)因為{a_n}為單調遞增數列，所以a₁＜a₂，要保證a₁＜a₂成立，二次函數f(x)＝x²＋λx＋3的對稱軸x＝－應位于1和2中點的左側，即－＜，亦即λ＞－3，故實數λ的取值范圍為(－3，＋∞)．