Question

【題目】已知函數.

（1）當時，試判斷函數的單調性；

（2）若，求證：函數在上的最小值小于.

Answer 1

【答案】(1) 函數在上單調遞増(2)見解析

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接求導，再利用二次求導求函數的單調性. (2)第（2）問，對a分類討論，再利用導數求出求每一種情況下函數的單調性，從而證明函數在上的最小值小于.

試題解析：

（1）由題可得，

設，則，

所以當時， 在上單調遞增，

當時， 在上單調遞減，

所以，因為，所以，即，

所以函數在上單調遞増.

（2）由（1）知在上單調遞増，

因為，所以，

所以存在，使得，即，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞増，所以當時

，

令，則恒成立，

所以函數在上單調遞減，所以，

所以，即當時，

故函數在上的最小值小于.