Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓與圓的4個交點恰為一個正方形的4個頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點為橢圓的下頂點， 為橢圓上與不重合的兩點，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點，使得直線恒過點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在定點，使得直線恒過點

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接根據已知條件得到關于a,b的一個方程組，再解方程組即可. (2)第（2）問，對直線的斜率分兩種情況討論.每一種情況都要先根據已知條件求直線DE的方程，再判斷其方程是否過定點.

試題解析：

（1）因為橢圓的離心率，

所以，即，

因為橢圓與圓的4個交點恰為一個正方形的4個頂點，

所以直線與圓的一個交點在橢圓上，所以，

由解得，所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）知，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

代入得， ，

所以，即.

設，則，

因為直線與直線的斜率之和為，所以 ，

整理得，所以直線的方程為，

顯然直線經過定點.

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，

因為直線與直線的斜率之和為，設，則，

所以，解得，

此時直線的方程為，顯然直線經過定點.

綜上，存在定點，使得直線恒過點.