Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）若是函數(shù)圖像上不同的三點，且，試判斷與之間的大小關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析．

【解析】試題分析：（1），分三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分別求得其在時的最大值； (2 )分別求出與用表示，做差后得關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其大于零即可得結(jié)果.因為與在函數(shù)圖象上，所以把和的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中得

試題解析：（1），

當(dāng)時， 時， ， ，

當(dāng)時， 時， ， ，

當(dāng)時，由，得， ，又，則有如下分類：

①當(dāng)，即時， 在上是增函數(shù)，

所以.

②當(dāng)，即時， 在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，

所以

③當(dāng)，即時， 在上是減函數(shù)，

所以

綜上，函數(shù)在上的最大值為

（2）

，

令， ， ，

所以在上是增函數(shù)，又，

當(dāng)時， ， ， ，故

當(dāng)時， ， ， ，故

綜上知， .

【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大小）.