Question

【題目】某企業擬生產一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側面的厚度不計），易拉罐的體積為,設圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關．已知易拉罐側面制造費用為元，易拉罐上下底面的制造費用均為元為常數)．

（1）寫出易拉罐的制造費用(元)關于的函數表達式，并求其定義域；

（2）求易拉罐制造費用最低時的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時， ，易拉罐的制造費用最低，當時，，易拉罐的制造費用最低.

【解析】

（1）根據體積的值，得出與的關系，然后將表面積公式中的轉化為，再根據等條件得出定義域；

（2）利用導數求出函數的單調性，進而求出最值.

解：（1）因為體積為

故，即，

易拉罐的側面積為，

易拉罐的上下兩底面的面積為，

所以,

因為，

所以有，解得，

故，

易拉罐的制造費用為；

（2），

令，解得，

若，即，此時

當，函數單調遞減，

當，函數單調遞增，

故當，此時函數取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；

若，即，此時，

當時，函數單調遞減，

故當，此時函數取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；

綜上：當時， ，易拉罐的制造費用最低，

當時，，易拉罐的制造費用最低.