Question

【題目】如圖，在四棱錐中，且和分別是棱和的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先證明四邊形為矩形，得到，然后又可證得平面，再根據得到平面，于是，進而得到，所以有平面，于是可得所證結論成立．（Ⅱ）建立空間直角坐標系，根據題中條件得到相關點的坐標，求出平面的法向量和直線的方向向量，根據兩向量夾角的余弦值可求出線面角的正弦值．

（Ⅰ）∵為中點，，

∴．

又，

∴四邊形為平行四邊形．

∵為中點，

∴，

∴四邊形為矩形，

∴．

由得，

又，

∴平面．

∵，

∴平面．

又平面，

∴．

∵，

∴．

又，

∴平面．

∵平面，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．

以為原點，為軸，為軸，平面內過點且與的垂線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示．

∵，

∴．

又，

∴．

∴點到軸的距離為．

∴同時知．

又，

∴．

∴．

設平面的一個法向量為，

由得

令則．

又，

設直線與平面所成的角為.

則．

即直線與平面所成的角的正弦值為．