【題目】設函數
，
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）①證明：當
時，函數在
上恰有一個極值點
；
②求實數
的取值范圍，使得對任意的
，恒有
成立.
注：
為自然對數的底數.
【答案】（1）
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，（2）①證明見解析；②
.
【解析】
（1）求導后，由
得遞增區間，由
得遞減區間；
（2）①求導兩次后，利用零點存在性定理和極值點的概念可證結論；②當
時，根據單調性可知不合題意，當
時，利用①的結論，可知在
上的最大值為
，再將恒成立轉化為最大值即可解決.
（1）當
時，
，
，
由，得
，由，得
，
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2）①證明：當時，
，
令
，則
，
因為，所以
，
當
時，
，，當
時，
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
因為
，
，
根據零點存在性定理可知，函數
在
上有唯一實根，設為
，則
，
所以當
時，，當
時，，
所以函數在
上遞減，在
上遞增，所以在
處取得極小值，
所以當時，函數
在上恰有一個極值點.
②當
時，
，由①知
在上恒成立，
所以在上為增函數，所以
，
所以在上遞增，所以
恒成立， 不合題意，
當時，由①知，函數在上遞減，在上遞增，
設函數在上的最大值為
，則
，
若對任意的
，恒有
成立.
則
，因為
，所以由
得
，
得
，得
，得，
因為
，所以.
新非凡教輔沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市隨機抽取一年（
天）內
天的空氣質量指數
的監測數據，結果統計如下：
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空氣質量 | 優 | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天數 |
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（1）若某企業每天由空氣污染造成的經濟損失
（單位：元）與空氣質量指數（記為
）的關
系式為：
試估計在本年內隨機抽取一天，該天經濟損失大于
元且不超過
元的概率；
（2）若本次抽取的樣本數據有
天是在供暖季，其中有
天為重度污染，完成下面
列聯表，并判斷能否有
的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 |
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附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面上有奇數條線段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設定方向的線段設定一個方向，直至某次（甲）設定后，所有線段各有了一個方向為止.如果最后得到的所有向量之和的模長不小于原來每條線段長，則甲獲勝，否則乙獲勝.問：誰有必勝策略？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲乙兩支圍棋隊各5名隊員按事先排好的順序進行擂臺賽，雙方1號隊員先賽，負者被淘汰；然后負方的2號隊員再與對方的勝者比賽，負者又被淘汰．依次類推，直到有一方隊員全部被淘汰，則宣布另一方獲勝．假設每名隊員的實力相當，則比賽結束時甲隊未上場隊員數
的數學期望
______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在股票市場上，投資者常根據股價
每股的價格
走勢圖來操作，股民老張在研究某只股票時，發現其在平面直角坐標系內的走勢圖有如下特點：每日股價
元與時間
天的關系在ABC段可近似地用函數
的圖象從最高點A到最低點C的一段來描述如圖，并且從C點到今天的D點在底部橫盤整理，今天也出現了明顯的底部結束信號．老張預測這只股票未來一段時間的走勢圖會如圖中虛線DEF段所示，且DEF段與ABC段關于直線l：
對稱，點B，D的坐標分別是
．
請你幫老張確定a，
，
的值，并寫出ABC段的函數解析式；
如果老張預測準確，且今天買入該只股票，那么買入多少天后股價至少是買入價的兩倍？
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