Question

【題目】橢圓，其中，焦距為2，過點的直線l與橢圓C交于點A，B，點B在A，M之間．又線段AB的中點的橫坐標為，且.

(1)求橢圓C的標準方程．

(2)求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）運用離心率公式和橢圓的，，的關系，解得，，即可得到橢圓方程；（2）運用向量共線的知識，設出直線的方程，聯立橢圓方程，消去，運用判別式大于，以及韋達定理和中點坐標公式，計算得到，的橫坐標，即可得到所求值．

試題解析：（1）由條件可知，，，故，橢圓的標準方程是；（2）由，可知三點共線，設點，點，

若直線軸，則，不合題意， 5分

當A所在直線的斜率存在時，設直線的方程為．

由消去得，①

由①的判別式，解得，

， 7分

由，可得，如圖， 9分

將代入方程①，得，，

又∵，，，

∴，∴， 12分