Question

【題目】【2018河南濮陽(yáng)市高三一模】已知點(diǎn)在拋物線上， 是拋物線上異于的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．

（I）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；

（II）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，求垂足的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）．

【解析】試題分析：（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用，代入根與系數(shù)的關(guān)系，求得，代入直線方程，得到定點(diǎn)；（2）根據(jù)（1）可知，點(diǎn)的軌跡滿足圓的方程，以為直徑的圓去掉，寫(xiě)出圓的方程即可.

試題解析：(1)點(diǎn)在拋物線上，代入得，所以拋物線的方程為，

由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，

聯(lián)立得，得， ，

由于，所以，即，

即.(*)

又因?yàn)?/span>， ，

代入(*)式得，即，

所以或，即或.

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

(2)由(1)，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓且去掉，方程為.