Question

【題目】在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱AA1⊥底面ABC，AA1= ，P、Q分別是AB、AC上的點，且PQ∥BC．

（1）若平面A1PQ與平面A1B1C1相交于直線l，求證：l∥B1C1；
（2）當平面A1PQ⊥平面PQC1B1時，確定點P的位置并說明理由．S．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ∥BC∥B1C1，B1C1面A1B1C1，PQ面 A1B1C1，

∴PQ∥面A1B1C1；

∵面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ∥l，

∴l∥B1C1；

（2）證明：P為AB的中點時，平面A1PQ⊥面PQC1B1；

證明如下：作PQ的中點M，B1C1的中點N，連接A1M，MN，A1N，

∵PQ∥BC，AP=AQ，進而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ，

∵平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，

∴A1M⊥面PQC1B1，而MN面PQC1B1，

∴A1M⊥MN，即△A1MN為直角三角形；

連接AM并延長交BC于G，顯然G是BC的中點，

設AP=x，則PB=2﹣x，則由 = ，可得 = ，解得AM= x，

在Rt△AA1M中， = +AM2= + x2．

同理MG=AG﹣AM= ﹣ x，

在Rt△MGN中，MN2=MG2+GN2= + = ﹣3x+ x2．

∴在Rt△A1MN中， = +MN2，

即3= + x2+ ﹣3x+ x2，

解得x=1，即AP=1，此時P為AB的中點

【解析】（1）利用線面平行的性質證明l∥B1C1；（2）作PQ的中點M，B1C1的中點N，連接A1M，MN，A1N，利用線面垂直的判定證明A1M⊥PQ，A1M⊥MN，即可平面A1PQ⊥面PQB1C1 ， 再利用余弦定理即可確定P點的位置．
【考點精析】通過靈活運用平面的基本性質及推論和平面與平面垂直的性質，掌握如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內;過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直即可以解答此題．