Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓過點， ， 分別為橢圓的右、下頂點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓內，滿足直線， 的斜率乘積為，且直線， 分別交橢圓于點， ．

(i) 若， 關于軸對稱，求直線的斜率；

(ii) 求證： 的面積與的面積相等．

Answer 1

【答案】（1）． （2）(i) ;(ii) 見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得，橢圓的方程為.

(2)(i)設出點的坐標和直線方程，聯立直線與橢圓的方程，得到關于實數k的方程，解方程可得；

(ii)利用題意證得，則的面積與的面積相等．

試題解析：

（1）由知， ，

又橢圓過點，所以，

解得 所以橢圓的方程為．

（2）設直線的斜率為，則直線的方程為．

聯立 消去并整理得， ，

解得， ，所以．

因為直線， 的斜率乘積為，所以直線的方程．

聯立 消去并整理得， ，

解得， ，所以．

(i) 因為， 關于軸對稱，所以，

即，解得．

當時，點在橢圓外，不滿足題意．

所以直線的斜率為．

(ii) 聯立 解得．

所以

．

故的面積與的面積相等．