Question

【題目】某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盤(pán)上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開(kāi)始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳兩站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束；設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻骰子3次后，求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手獲勝，請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析；（3）游戲不公平，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）隨機(jī)變量X的所有可能取值為3，4，5，6，計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算得到數(shù)學(xué)期望.

（2）根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到.

（3）計(jì)算得到，，得到答案.

（1）隨機(jī)變量X的所有可能取值為3，4，5，6，

，

，

所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

.

（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，棋子要到第站，有兩種情況：

①由第n站跳1站得到，其概率為；

②由第站跳2站得到，其概率為

，，

，

（3）由（2）知，當(dāng)棋子落到第99站游戲結(jié)束的概率為，

當(dāng)棋子落到第100站游戲結(jié)束的概率為，

，最終棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，

游戲不公平.