Question

【題目】對于定義城為R的函數，若滿足：①；②當，且時，都有；③當且時，都有，則稱為“偏對稱函數”.下列函數是“偏對稱函數”的是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】BC

【解析】

運用新定義，分別討論四個函數是否滿足三個條件，結合奇偶性和單調性，以及對稱性，即可得到所求結論．

解：經驗證，，，，都滿足條件①；

，或；

當且時，等價于，

即條件②等價于函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

A中，，，則當時，由，得，不符合條件②，故不是“偏對稱函數”；

B中，，，當時，，，當時，，，則當時，都有，符合條件②，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

由的單調性知，當時，，

∴，

令，，，

當且僅當即時，“”成立，

∴在，上是減函數，∴，即，符合條件③，

故是“偏對稱函數”；

C中，由函數，當時，，當時，，符合條件②，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

有單調性知，當時，，

設，，則，

在上是減函數，可得，

∴，

即，符合條件③，故是“偏對稱函數”；

D中，，則，則是偶函數，

而 （），則根據三角函數的性質可知，當時，的符號有正有負，不符合條件②，故不是“偏對稱函數”；

故選：BC．