Question

【題目】如圖，已知拋物線，設直線經過點且與拋物線相交于兩點，拋物線在、兩點處的切線相交于點，直線，分別與軸交于、兩點.

（1）求點的軌跡方程

（2）當點不在軸上時，記的面積為，的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

（1）首先設出，，利用導數的幾何意義求出切線，的方程，聯立得到交點的坐標.再設出直線的方程為，代入拋物線，利用根系關系即可得到點的軌跡方程.

（2）首先根據切線，的方程得到，，從而得到，.利用弦長公式和點到直線的距離公式得到，從而得到.令，得到，再利用基本不等式即可得到的最值.

（1）因為拋物線，所以，.

設，，，.

則切線，的方程分別為和.

聯立解得交點的坐標為:，.

設直線的方程為，代入，

整理得：，

所以，，且.

所以，，于是，

故點的軌跡方程為.

（2）因為切線的方程為，

令得到，同理：.

所以.

又，故.

由（1）可知，

又點到直線的距離為，

所以.

所以.

令，，則.

①當時，，當且僅當時取“”.

所以；

②當時，

，，，

當且僅當時取“”.

所以；

綜上所述：的最小值為.