Question

已知關于x，y的方程C：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．
（Ⅰ）若方程C表示圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若圓C與直線l交于M，N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）先把圓的方程化為標準方程使得D²+E-4F＞0即可求得m的范圍．
（Ⅱ）根據OM⊥ON，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，利用直線與圓的方程聯立，利用韋達定理分別求得x₁x₂和y₁y₂的表達式，代入即可求得m．

解答： 解：（1）令D²+E-4F=1+36-4M＞0，
得m＜

37

4

，
∴m的取值范圍為（-∞，

37

4

）．
（ II）設M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，①
由

x2+y2+x-6y+m=0 x+2y-3=0

消x得5y²-20y+m+12=0，
△=400-20（m+12）＞0，②
y1+y2=

m+12

5

，y1+y2=4y₁+y₂=4，y₁y₂=

m+12

5

，
又x₁x₂=（-2y₁+3）（-y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4

5

(m+12)-15
代入①得，

4

5

(m+12)-15+

m+12

5

=0，
求得m=3滿足②，故為所求

點評：本題主要考查了圓的標準方程以及圓直線的位置關系．解題的過程中注意靈活運用韋達定理．