Question

設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項(xiàng)．
（l）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

1

an2+24n-25

，求數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)和T₁₀₀．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{b_n}的前100項(xiàng)和T₁₀₀．

解答： 解：（1）在遞增等差數(shù)列{a_n}中，
設(shè)公差為d＞0，
∵a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項(xiàng)，
∴

a42=a3×a1 a3=1

，
∴

(a1+3d)2=1×(a1+6d) a1+2d=1

，
解得

a1=-3 d=2

，
∴a_n=-3+（n-1）×2=2n-5．（4分）
（2）∵b_n=

1

an2+24n-25

，a_n=2n-5．
∴bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T₁₀₀=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

100

-

1

101

）
=

1

4

(1-

1

101

)=

25

101

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．